La théorie d'Einstein – Cartan (extraits de wikipédia)

En physique théorique , la théorie d'Einstein – Cartan , également connue sous le nom de théorie d' Einstein – Cartan – Sciama – Kibble , est une théorie classique de la gravitation similaire à la relativité générale. La théorie a été proposée pour la première fois par Élie Cartan en 1922. La théorie d'Einstein-Cartan est la théorie de jauge de Poincaré la plus simple.

Aperçu

La théorie d'Einstein – Cartan diffère de la relativité générale. Cette différence peut être prise en compte en reformulant d'abord la relativité générale sur une géométrie de Riemann – Cartan, en remplaçant l'action d'Einstein – Hilbert sur la géométrie riemannienne par l'action de Palatini sur la géométrie de Riemann – Cartan; et deuxièmement, la suppression de la contrainte de torsion nulle de l'action de Palatini, ce qui aboutit à l'ensemble supplémentaire d'équations pour le spin et la torsion, ainsi que l'ajout de termes supplémentaires liés au spin dans les équations du champ d'Einstein elles-mêmes.

La théorie de la relativité générale a été formulée à l'origine dans le cadre de la géométrie riemannienne par l' action d'Einstein-Hilbert , à partir de laquelle découlent les équations du champ d'Einstein . Au moment de sa formulation originale, il n'existait aucun concept de géométrie de Riemann – Cartan. Il n'y avait pas non plus une connaissance suffisante du concept de symétrie de jauge pour comprendre que les géométries riemanniennes ne possèdent pas la structure requise pour incarner une symétrie de Lorentz calibrée localement , comme cela serait nécessaire pour pouvoir exprimer des équations de continuité et des lois de conservation pour la rotation et la poussée symétries, ou pour décrire des spineurs dans des géométries spatio-temporelles courbes. Le résultat de l'ajout de cette infrastructure est une géométrie Riemann – Cartan. En particulier, pouvoir décrire des spineurs nécessite l'inclusion d'une structure de spin , ce qui suffit pour réaliser une telle géométrie.

La principale différence entre une géométrie Riemann – Cartan et une géométrie riemannienne est que dans la première, la connexion affine est indépendante de la métrique, tandis que dans la seconde, elle est dérivée de la métrique comme la connexion Levi-Civita , la différence entre les deux étant appelé la contorsion . En particulier, la partie antisymétrique de la connexion (appelée torsion ) est nulle pour les connexions Levi-Civita, comme l'une des conditions définissant de telles connexions.

Comme la contorsion peut être exprimée linéairement en termes de torsion, il est également possible de traduire directement l'action Einstein – Hilbert en une géométrie Riemann – Cartan, le résultat étant l' action Palatini (voir aussi la variation de Palatini ). Il est dérivé en réécrivant l'action Einstein-Hilbert en termes de connexion affine, puis en posant séparément une contrainte qui force à la fois la torsion et la contorsion à être nulles, ce qui oblige ainsi la connexion affine à être égale à la connexion Levi-Civita. Parce qu'il s'agit d'une traduction directe des équations d'action et de champ de la relativité générale, exprimées en termes de connexion de Levi-Civita, cela peut être considéré comme la théorie de la relativité générale, elle-même, transposée dans le cadre de la géométrie de Riemann-Cartan.

La théorie d'Einstein-Cartan assouplit cette condition et, en conséquence, assouplit l'hypothèse de la relativité générale selon laquelle la connexion affine a une partie antisymétrique disparaissante ( tenseur de torsion ). L'action utilisée est la même que l'action Palatini, sauf que la contrainte sur la torsion est supprimée. Il en résulte deux différences par rapport à la relativité générale: (1) les équations de champ sont maintenant exprimées en termes de connexion affine, plutôt que de connexion Levi-Civita, et ont donc des termes supplémentaires dans les équations de champ d'Einstein impliquant la contorsion qui ne sont pas présentes dans le équations de terrain dérivées de la formulation Palatini; (2) un ensemble supplémentaire d'équations sont maintenant présents qui couplent la torsion au moment angulaire intrinsèque ( spin ) de la matière, de la même manière que la connexion affine est couplée à l'énergie et à l'impulsion de la matière. Dans la théorie d'Einstein-Cartan, la torsion est maintenant une variable du principe de l'action stationnaire qui est couplée à une formulation courbe de spin de l'espace-temps (le tenseur de spin ). Ces équations supplémentaires expriment la torsion linéairement en fonction du tenseur de spin associé à la source de matière, ce qui implique que la torsion soit généralement non nulle à l'intérieur de la matière.

Une conséquence de la linéarité est qu'en dehors de la matière il n'y a aucune torsion, de sorte que la géométrie extérieure reste la même que ce qui serait décrit en relativité générale. Les différences entre la théorie d'Einstein – Cartan et la relativité générale (formulée soit en termes d'action d'Einstein – Hilbert sur la géométrie riemannienne, soit de l'action de Palatini sur la géométrie de Riemann – Cartan) reposent uniquement sur ce qui arrive à la géométrie à l'intérieur des sources de matière. Autrement dit: "la torsion ne se propage pas". Des généralisations de l'action Einstein – Cartan ont été envisagées qui permettent de propager la torsion.

Comme les géométries de Riemann – Cartan ont une symétrie de Lorentz comme symétrie de jauge locale, il est possible de formuler les lois de conservation associées. En particulier, considérer les tenseurs métriques et de torsion comme des variables indépendantes donne la bonne généralisation de la loi de conservation du moment angulaire total (orbital plus intrinsèque) à la présence du champ gravitationnel. Histoire

La théorie a été proposée pour la première fois par Élie Cartan en 1922 et exposée dans les années suivantes. Albert Einstein s'est affilié à la théorie en 1928 lors de sa tentative infructueuse de faire correspondre la torsion au tenseur du champ électromagnétique dans le cadre d'une théorie unifiée des champs. Cette ligne de pensée l'a conduit à la théorie connexe mais différente du téléparallélisme.

Dennis Sciama et Tom Kibble ont revisité indépendamment la théorie dans les années 1960, et une revue importante a été publiée en 1976.

La théorie d'Einstein-Cartan a été historiquement éclipsée par son homologue sans torsion et d'autres alternatives comme la théorie de Brans-Dicke parce que la torsion semblait ajouter peu d'avantages prédictifs aux dépens de la traitabilité de ses équations. La théorie d'Einstein-Cartan étant purement classique, elle n'aborde pas non plus complètement la question de la gravité quantique . Dans la théorie d'Einstein-Cartan, l' équation de Dirac devient non linéaire et donc le principe de superposition utilisé dans les techniques de quantification habituelles ne fonctionnerait pas. Récemment, l'intérêt pour la théorie d'Einstein-Cartan s'est orienté vers des implications cosmologiques , le plus important étant d'éviter une singularité gravitationnelle au début de l'univers. La théorie est considérée comme viable et reste un sujet actif dans la communauté de la physique.

Equations de champ

Les équations du champ d'Einstein de la relativité générale peuvent être dérivées en postulant que l' action d'Einstein-Hilbert est la véritable action de l'espace-temps, puis en faisant varier cette action par rapport au tenseur métrique. Les équations de champ de la théorie d'Einstein – Cartan proviennent exactement de la même approche, sauf qu'une connexion affine asymétrique générale est supposée plutôt que la connexion symétrique de Levi-Civita (c'est-à-dire que l'espace-temps est supposé avoir une torsion en plus de la courbure ), puis la la métrique et la torsion varient indépendamment.

Laissez représenter la densité lagrangienne de la matière et représentent la densité lagrangienne du champ de gravitation. La densité lagrangienne du champ gravitationnel dans la théorie d'Einstein – Cartan est proportionnelle au scalaire de Ricci :

où est le déterminant du tenseur métrique, et est une constante physique impliquant la constante gravitationnelle et la vitesse de la lumière . Selon le principe de Hamilton , la variation de l'action totale pour le champ gravitationnel et la matière disparaît:

La variation par rapport au tenseur métrique donne les équations d'Einstein:

où est le tenseur de Ricci et est le tenseur canonique contrainte – énergie – moment . Le tenseur de Ricci n'est plus symétrique car la connexion contient un tenseur de torsion non nul; par conséquent, le côté droit de l'équation ne peut pas non plus être symétrique, ce qui implique qu'il doit inclure une contribution asymétrique dont on peut montrer qu'elle est liée au tenseur de spin . Ce tenseur canonique énergie – impulsion est lié au tenseur symétrique énergie – impulsion plus familier par la procédure de Belinfante – Rosenfeld.

La variation par rapport au tenseur de torsion donne les équations de connexion de spin de Cartan

où est le tenseur de spin . Comme l'équation de torsion est une contrainte algébrique plutôt qu'une équation différentielle partielle , le champ de torsion ne se propage pas comme une onde et disparaît en dehors de la matière. Par conséquent, en principe, la torsion peut être algébriquement éliminée de la théorie en faveur du tenseur de spin, qui génère une auto-interaction non linéaire "spin-spin" effective à l'intérieur de la matière.

Évitement des singularités

Les théorèmes de singularité qui sont fondés sur et formulés dans le cadre de la géométrie riemannienne (par exemple les théorèmes de singularité de Penrose – Hawking ) n'ont pas besoin de tenir dans la géométrie de Riemann – Cartan. Par conséquent, la théorie d'Einstein-Cartan est capable d'éviter le problème relativiste général de la singularité au Big Bang . Le couplage minimal entre la torsion et les spineurs de Dirac génère une auto-interaction spin-spin non linéaire efficace, qui devient significative à l'intérieur de la matière fermionique à des densités extrêmement élevées. Une telle interaction est supposée remplacer le singulier Big Bang par un Big Bounce de type cuspide à un facteur d'échelle minimum mais fini , avant lequel l' univers observable se contractait. Ce scénario explique également pourquoi l'Univers actuel aux plus grandes échelles apparaît spatialement plat, homogène et isotrope, offrant une alternative physique à l' inflation cosmique . La torsion permet aux fermions d'être étendus spatialement au lieu de "pointlike" , ce qui permet d'éviter la formation de singularités telles que les trous noirs et supprime la divergence ultraviolette dans la théorie quantique des champs. Selon la relativité générale, l'effondrement gravitationnel d'une masse suffisamment compacte forme un trou noir singulier. Dans la théorie d'Einstein-Cartan, au contraire, l'effondrement atteint un rebond et forme un pont Einstein-Rosen régulier ( trou de ver ) vers un nouvel univers en croissance de l'autre côté de l' horizon des événements.